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Soient $f$ et $g$ deux endomorphisme s d’un espace vectoriel $E$ de dimension $n$ sur
$K=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, ayant chacun $n$ valeurs propres distinctes dans $K$. Montrer que $$f \circ g = g \circ f \quad \Longleftrightarrow \quad f \mbox{~et~} g \mbox{~ont les mêmes vecteurs propres}.$$

Supposons maintenant que $K=\mathbb{C}$ et que $f \circ g = g \circ f$. Si $u$ est un endomorphisme  on dit qu’un espace vectoriel $F$ est $u$-stable si $u(F) \subset F$. Montrer que tout sous-espace propre de $f$ est $g$-stable.

Remarque : On peut montrer par récurrence sur $n$ qu’il existe un vecteur propre commun à $f$et $g$. On admettra ce résultat.

Considérons $f$ et $g$ deux endomorphismes de $\mathbb{R}^3$ dont les matrices dans la base canonique sont respectivement $$M = \left ( \begin{array}{cccc} 5 & -4 & -4 \\ 1 & 0 & -2 \\ 1 & -1 & 1 \\ \end{array} \right ) ~~~~~\text{et}~~~~~N = \left ( \begin{array}{ccc} -2 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \\ -2 & 2 & 3 \\ \end{array} \right )$$

Vérifier que $f \circ g = g \circ f$ et déterminer les sous-espaces propres de $M$ et $N$.

Déterminer une base de $\mathbb{R}^3$ dans laquelle les matrices de $f$ et $g$ sont diagonales.