Soit \(P\) un élément de \(\Rr_{2n}[X]\). \(f(P)\) est un polynôme de degré inférieur ou égal à \(2n+1\) et de plus, si \(a\) est le coefficient de \(X^{2n}\) dans \(P\), le coefficient de \(X^{2n+1}\) dans \(f(P)\) est \(2na-2na = 0\). Donc \(f(P)\) est un élément de \(\Rr_{2n}[X]\). La linéarité de \(f\) étant claire, \(f\) est bien un endomorphisme de \(\Rr_{2n}[X]\).

Cherchons maintenant \(P\) polynôme non nul et \(\lambda\) réel tels que \(f(P) =\lambda P\) ce qui équivaut à

\(\frac{P'}{P}=\frac{2nX+\lambda}{X^2-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{2n+\lambda}{X-1}-\frac{-2n+\lambda}{X+1}\right)\).

En identifiant à la décomposition en éléments simples classique de \(\frac{P'}{P}\) (à savoir si \(P=K(X-z_1)^{\alpha_1}\ldots(X-z_k)^{\alpha_k}\) avec \(K\neq0\) et les \(z_i\) deux à deux distincts, alors \(\frac{P'}{P}=\sum_{i=1}^{k}\frac{\alpha_i}{X-z_i}\)), on voit que nécessairement \(P\) ne peut admettre pour racines dans \(\Cc\) que \(-1\) et \(1\) et d’autre part que \(P\) est de degré \(\frac{1}{2}(2n+\lambda+2n-\lambda)=2n\). \(P\) est donc nécessairement de la forme

\(P=aP_k\) avec \(a\in\Rr^*\) et \(P_k =(X-1)^k(X+1)^{2n-k}\) avec \(k\in\llbracket0,2n\rrbracket\).

Réciproquement, chaque \(P_k\) est non nul et vérifie

\(\frac{P_k'}{P_k}=\frac{k}{X-1}+\frac{2n-k}{X+1}=\frac{1}{2}\left(\frac{2n+(2k-2n)}{X-1}+\frac{2n-(2k-2n)}{X+1}\right)\).

Donc, pour chaque \(k\in\llbracket0,2n\rrbracket\), \(P_k\) est vecteur propre de \(f\) associé à la valeur propre \(\lambda_k = 2(k-n)\).

Ainsi, \(f\) admet \(2n+1\) valeurs propres, nécessairement simples car \(\text{dim}(\Rr_{2n}[X]=2n+1\)). \(f\) est donc diagonalisable et les sous espaces propres de \(f\) sont les droites \(\text{Vect}(P_k)\), \(0\leqslant k\leqslant 2n\).

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