Soit $P$ un élément de $\Rr_{2n}[X]$ . $f(P)$ est un polynôme de degré inférieur ou égal à $2n+1$ et de plus, si $a$ est le coefficient de $X^{2n}$ dans $P$ , le coefficient de $X^{2n+1}$ dans $f(P)$ est $2na-2na = 0$ . Donc $f(P)$ est un élément de $\Rr_{2n}[X]$ . La linéarité de $f$ étant claire, $f$ est bien un endomorphisme de $\Rr_{2n}[X]$ .

Cherchons maintenant $P$ polynôme non nul et $\lambda$ réel tels que $f(P) =\lambda P$ ce qui équivaut à

$\frac{P'}{P}=\frac{2nX+\lambda}{X^2-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{2n+\lambda}{X-1}-\frac{-2n+\lambda}{X+1}\right)$ .

En identifiant à la décomposition en éléments simples classique de $\frac{P'}{P}$ (à savoir si $P=K(X-z_1)^{\alpha_1}\ldots(X-z_k)^{\alpha_k}$ avec $K\neq0$ et les $z_i$ deux à deux distincts, alors $\frac{P'}{P}=\sum_{i=1}^{k}\frac{\alpha_i}{X-z_i}$ ), on voit que nécessairement $P$ ne peut admettre pour racines dans $\Cc$ que $-1$ et $1$ et d’autre part que $P$ est de degré $\frac{1}{2}(2n+\lambda+2n-\lambda)=2n$ . $P$ est donc nécessairement de la forme

$P=aP_k$ avec $a\in\Rr^*$ et $P_k =(X-1)^k(X+1)^{2n-k}$ avec $k\in\llbracket0,2n\rrbracket$ .

Réciproquement, chaque $P_k$ est non nul et vérifie

$\frac{P_k'}{P_k}=\frac{k}{X-1}+\frac{2n-k}{X+1}=\frac{1}{2}\left(\frac{2n+(2k-2n)}{X-1}+\frac{2n-(2k-2n)}{X+1}\right)$ .

Donc, pour chaque $k\in\llbracket0,2n\rrbracket$ , $P_k$ est vecteur propre de $f$ associé à la valeur propre $\lambda_k = 2(k-n)$ .

Ainsi, $f$ admet $2n+1$ valeurs propres, nécessairement simples car $\text{dim}(\Rr_{2n}[X]=2n+1$ ). $f$ est donc diagonalisable et les sous espaces propres de $f$ sont les droites $\text{Vect}(P_k)$ , $0\leqslant k\leqslant 2n$ .

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