L2 Algèbre Réduction d'endomorphisme, polynôme annulateur Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa PT Prépa BCPST 4 questions

exo7 2581

Soit $u$ l’endomorphisme de $\R^3$ dont la matrice dans la base canonique est $A=\begin{pmatrix}-3&-2&-2 \\ 2&1&2 \\ 3&3&2\end{pmatrix}$

Déterminer et factoriser le polynôme caractéristique de $A$ .

Démontrer que les valeurs propres de $A$ sont $-1$ et $2$ . Déterminer les sous-espaces propres associés.

Démontrer que $A$ est diagonalisable et donner une base de $\R^3$ dans laquelle la matrice de $u$ est diagonale.

Trouver une matrice $P$ telle que $P^{-1}AP$ soit diagonale.