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Déterminer une matrice $A\in M_2(\R)$ telle que, pour tout $n\geq1$, $$\begin{pmatrix}F_{n+1} \\ F_n\end{pmatrix}=A^n\begin{pmatrix}F_{1} \\ F_0\end{pmatrix}.$$

Montrer que $A$ admet deux valeurs propres réelles distinctes que l’on note $\lambda_1$ et $\lambda_2$ avec $\lambda_1<\lambda_2$.

Trouver des vecteurs propres $\varepsilon_1$ et $\varepsilon_2$ associés aux valeurs propres $\lambda_1$ et $\lambda_2$, sous la forme $\displaystyle\begin{pmatrix}\alpha \\ 1\end{pmatrix}$, avec $\alpha\in\R$.

Déterminer les coordonnées du vecteur $\displaystyle\begin{pmatrix}F_1 \\ F_0\end{pmatrix}$ dans la base $(\varepsilon_1,\varepsilon_2)$, on les note $x_1$ et $x_2$.

Montrer que $\displaystyle\begin{pmatrix}F_{n+1} \\ F_n\end{pmatrix} =\lambda_1^nx_1\varepsilon_1+\lambda_2^nx_2\varepsilon_2$. En déduire que $$F_n={\frac{\lambda_1^n}{\lambda_1-\lambda_2}}-{\frac{\lambda_2^n}{\lambda_1-\lambda_2}}\ .$$

Donner un équivalent de $F_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.