La suite de Fibonacci \(0,1,1,2,3,5,8,13,...\) est la suite \((F_n)_{n\geq 0}\) définie par la relation de récurrence \(F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}\) pour \(n\geq1\), avec \(F_0=0\) et \(F_1=1\).
Déterminer une matrice \(A\in M_2(\R)\) telle que, pour tout \(n\geq1\), \[\begin{pmatrix}F_{n+1} \\ F_n\end{pmatrix}=A^n\begin{pmatrix}F_{1} \\ F_0\end{pmatrix}.\]
Montrer que \(A\) admet deux valeurs propres réelles distinctes que l’on note \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\) avec \(\lambda_1<\lambda_2\).
Trouver des vecteurs propres \(\varepsilon_1\) et \(\varepsilon_2\) associés aux valeurs propres \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\), sous la forme \(\displaystyle\begin{pmatrix}\alpha \\ 1\end{pmatrix}\), avec \(\alpha\in\R\).
Déterminer les coordonnées du vecteur \(\displaystyle\begin{pmatrix}F_1 \\ F_0\end{pmatrix}\) dans la base \((\varepsilon_1,\varepsilon_2)\), on les note \(x_1\) et \(x_2\).
Montrer que \(\displaystyle\begin{pmatrix}F_{n+1} \\ F_n\end{pmatrix} =\lambda_1^nx_1\varepsilon_1+\lambda_2^nx_2\varepsilon_2\). En déduire que \[F_n={\frac{\lambda_1^n}{\lambda_1-\lambda_2}}-{\frac{\lambda_2^n}{\lambda_1-\lambda_2}}\ .\]
Donner un équivalent de \(F_n\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).