L2 Algèbre Réduction d'endomorphisme, polynôme annulateur Prépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PT 3 questions

exo7 1689

Soit ff l’endomorphisme de l’espace vectoriel canonique R3\Rr^3 dont la matrice dans la base canonique B\mathcal{B} est A=(11−1−13−3−22−2).{A=\left(\begin{smallmatrix} 1&1&-1\\-1&3&-3\\-2&2&-2\end{smallmatrix}\right).}

1

Montrer que R3=ker⁡f2⊕ker⁡(f−2Id).\Rr^3=\ker f^2 \oplus \ker(f-2\text{Id}).

2

Trouver une base B′\mathcal{B}' de R3\Rr^3 telle que mat(f,B′)=(010000002).{\text{mat}(f,\mathcal{B}')=\left(\begin{smallmatrix} 0&1&0\\0&0&0\\0&0&2\end{smallmatrix}\right).}

3

Soit g∈L(R3)g\in\mathcal{L}(\Rr^3) tel que g2=fg^2=f. Montrer que ker⁡f2\ker f^2 est stable par gg. En déduire qu’un tel endomorphisme gg ne peut exister.

Exercice 7oBj

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