Soit \(f\) l’endomorphisme de l’espace vectoriel canonique \(\Rr^3\) dont la matrice dans la base canonique \(\mathcal{B}\) est \[{A=\left(\begin{smallmatrix} 1&1&-1\\-1&3&-3\\-2&2&-2\end{smallmatrix}\right).}\]
1
Montrer que \(\Rr^3=\ker f^2 \oplus \ker(f-2\text{Id}).\)
2
Trouver une base \(\mathcal{B}'\) de \(\Rr^3\) telle que \[{\text{mat}(f,\mathcal{B}')=\left(\begin{smallmatrix} 0&1&0\\0&0&0\\0&0&2\end{smallmatrix}\right).}\]
3
Soit \(g\in\mathcal{L}(\Rr^3)\) tel que \(g^2=f\). Montrer que \(\ker f^2\) est stable par \(g\). En déduire qu’un tel endomorphisme \(g\) ne peut exister.