On considère la matrice de \(M_n(\C)\), \(A=\begin{pmatrix}0 & a & \dots & a\cr b & \ddots & \ddots & \vdots \cr \vdots & \ddots & \ddots & a\cr b & \dots & b & 0\cr\end{pmatrix}\), \(a\ne b\).
1
Montrer que le polynôme caractéristique de \(A\) est \(\frac{(-1)^n}{a-b}(a(X+b)^n-b(X+a)^n)\).
2
Montrer qu’en général les valeurs propres de \(A\) sont sur un cercle.