L2 Algèbre Réduction d'endomorphisme, polynôme annulateur Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPSTPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PTPrépa BCPST 5 questions

exo7 1728

Les parties I, II, III et IV peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.

Soient Ma=(a+11−aa−1−132a−3a−22−a3a−2)∈M3(R)M_a=\begin{pmatrix} a+1 & 1-a & a-1 \cr -1 & 3 & 2a-3 \cr a-2 & 2-a & 3a-2 \cr \end{pmatrix}\in M_3(\R ) une matrice dépendant d’un paramètre réel aa et faf_a l’endomorphisme linéaire de R3\R ^3 ayant pour matrice MaM_a dans la base canonique de R3.\R ^3 . On nomme racine carrée d’une matrice M∈Mn(R)M\in M_n(\R ) toute matrice N∈Mn(R)N \in M_n(\R ) telle que N2=M.N^2=M . On désigne par II la matrice identité et, pour toute base ϵ\epsilon de R3,\R ^3 , on note Mat(fa,ϵ)\hbox{Mat}(f_a,\epsilon) la matrice représentant l’endomorphisme faf_a dans la base ϵ.\epsilon .

I

1

Calculer les valeurs propres de MaM_a en fonction de a.a . Pour quelle raison la matrice MaM_a est-elle triangularisable ?

2

Pour quelles valeurs du paramètre aa la matrice MaM_a est-elle diagonalisable ?

II

On pose maintenant (questions 3 et 4) a=2.a=2 .

3

Diagonaliser M2.M_2 . Déterminer une racine carrée AA de M2.M_2 .

4

Soit g∈L(R3)g \in \mathcal{L} (\R ^3) telle que g2=f2.g^2=f_2 . Montrer que gg est diagonalisable (on pourra déterminer le polynôme minimal de f2f_2). Montrer que les sous-espaces propres de f2f_2 sont laissés stables par g.g .

5

Démontrer que la matrice (4004)\begin{pmatrix} 4 & 0 \cr 0 & 4 \cr \end{pmatrix} a une infinité de racines carrées. En déduire l’existence d’une infinité de racines carrées de M2.M_2 .

Exercice dfpT

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