Les parties I, II, III et IV peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.
Soient \(M_a=\begin{pmatrix} a+1 & 1-a & a-1 \cr -1 & 3 & 2a-3 \cr a-2 & 2-a & 3a-2 \cr \end{pmatrix}\in M_3(\R )\) une matrice dépendant d’un paramètre réel \(a\) et \(f_a\) l’endomorphisme linéaire de \(\R ^3\) ayant pour matrice \(M_a\) dans la base canonique de \(\R ^3 .\) On nomme racine carrée d’une matrice \(M\in M_n(\R )\) toute matrice \(N \in M_n(\R )\) telle que \(N^2=M .\) On désigne par \(I\) la matrice identité et, pour toute base \(\epsilon\) de \(\R ^3 ,\) on note \(\hbox{Mat}(f_a,\epsilon)\) la matrice représentant l’endomorphisme \(f_a\) dans la base \(\epsilon .\)
I
Calculer les valeurs propres de \(M_a\) en fonction de \(a .\) Pour quelle raison la matrice \(M_a\) est-elle triangularisable ?
Pour quelles valeurs du paramètre \(a\) la matrice \(M_a\) est-elle diagonalisable ?
II
On pose maintenant (questions 3 et 4) \(a=2 .\)
Diagonaliser \(M_2 .\) Déterminer une racine carrée \(A\) de \(M_2 .\)
Soit \(g \in \mathcal{L} (\R ^3)\) telle que \(g^2=f_2 .\) Montrer que \(g\) est diagonalisable (on pourra déterminer le polynôme minimal de \(f_2\)). Montrer que les sous-espaces propres de \(f_2\) sont laissés stables par \(g .\)
Démontrer que la matrice \(\begin{pmatrix} 4 & 0 \cr 0 & 4 \cr \end{pmatrix}\) a une infinité de racines carrées. En déduire l’existence d’une infinité de racines carrées de \(M_2 .\)