Soit \(A\in M_n(\mathbb{K} ) .\) On note \(C(A)=\{ B \in M_n(\mathbb{K} ) ; AB=BA\} .\)
1
On suppose que \(A\) a des valeurs propres simples. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : i) \(B\in C(A) .\) ii) \(B\) a une base de vecteurs propres en commun avec \(A .\) iii) Il existe \(P\in \mathbb{K} _{n-1}[X]\) tel que \(B=P(A) .\) iv) Il existe \(P\in \mathbb{K} [X]\) tel que \(B=P(A) .\)
2
On suppose que \(n =3\) (pour simplifier) et que \(A\) est diagonalisable avec une valeur propre double. Déterminer \(C(A) .\)