L2 Algèbre Réduction d'endomorphisme, polynôme annulateur Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PTPrépa BCPST 2 questions

exo7 1727

Soit A∈Mn(K).A\in M_n(\mathbb{K} ) . On note C(A)={B∈Mn(K);AB=BA}.C(A)=\{ B \in M_n(\mathbb{K} ) ; AB=BA\} .

1

On suppose que AA a des valeurs propres simples. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : i) B∈C(A).B\in C(A) . ii) BB a une base de vecteurs propres en commun avec A.A . iii) Il existe P∈Kn−1[X]P\in \mathbb{K} _{n-1}[X] tel que B=P(A).B=P(A) . iv) Il existe P∈K[X]P\in \mathbb{K} [X] tel que B=P(A).B=P(A) .

2

On suppose que n=3n =3 (pour simplifier) et que AA est diagonalisable avec une valeur propre double. Déterminer C(A).C(A) .

Exercice Qlag

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