Soit \(E\) un \(\R\)-espace vectoriel de dimension finie \(n\), et \(u\) un endomorphisme de \(E\).
Soit \(x_{0}\in E\setminus\{0\}\). On note \(x_{k}=u^{k}(x_{0})\) et \(F\) le sous espace vectoriel engendré par la famille \(\{x_{k}, k\in\N\}\), c’est à dire l’ensemble des combinaisons linéaires finies de vecteurs de \({x_{k}, k\in\N}\) : \[F=\left\{x\in E\ /\ \exists N\in\N, \exists(\alpha_{0}\dots\alpha_{N})\in\R^{N+1},\ x=\sum_{i=0}^{N}\alpha_{i}x_{i}\right\}\]
Montrer que \(F\) est stable par \(u\), c’est à dire que \(\forall x\in F, u(x)\in F\).
Montrer qu’il existe un entier \(k\leq n\) tel que \((x_{0},x_{1},\dots,x_{k})\) soit libre et \((x_{0},x_{1},\dots,x_{k+1})\) soit liée. Montrer alors qu’il existe des scalaires \((a_{0},a_{1},\dots,a_{k})\) tels que \[x_{k+1}=a_{0}x_{0}+a_{1}x_{1}+\dots+a_{k}x_{k}\]
[q:P0(u)x0=0] En déduire que le polynôme \(P_{0}=X^{k+1}-\sum_{i=0}^{k}a_{i}X^{i}\) satisgfait \(\big(P_{0}(u)\big)(x_{0})=0\).
[q:x=P(u)x0] Montrer que pour tout \(x\) de \(F\), il existe un polynôme \(P\in\R[X]\) tel que \(x=\big(P(u)\big)(x_{0})\).
A l’aide des questions ([q:P0(u)x0=0]) et ([q:x=P(u)x0]), montrer que \(\forall x\in F, \exists R\in\R_{k}[X], x=\big(R(u)\big)(x_{0})\).
(on pourra effectuer la division eulidienne de \(P\) par \(P_{0}\))
En déduire que \((x_{0}\dots x_{k})\) est une base de \(F\).
Ecrire la matrice de la restriction \(u_{|_{F}}\) de \(u\) à \(F\) dans cette base. Quel est le polynôme caractéristique de \(\tilde{u}\) ?
Montrer qu’il existe une base \(\mathcal{B}\) de \(E\) dans la quelle \[\mathrm{Mat}_{_{\mathcal{B}}}(u)= \begin{pmatrix} C_{1} &0 &\cdots&0\\ 0 &C_{2}& &\vdots\\ \vdots& &\ddots&0 \\ 0 &\cdots&0 &C_{r} \end{pmatrix}\] où les matrices \(C_{i}\) sont des matrices Compagnon.