exo7 1702

Montrer que $F$ est stable par $u$, c’est à dire que $\forall x\in F, u(x)\in F$.

Montrer qu’il existe un entier $k\leq n$ tel que $(x_{0},x_{1},\dots,x_{k})$ soit libre et $(x_{0},x_{1},\dots,x_{k+1})$ soit liée. Montrer alors qu’il existe des scalaires $(a_{0},a_{1},\dots,a_{k})$ tels que $$x_{k+1}=a_{0}x_{0}+a_{1}x_{1}+\dots+a_{k}x_{k}$$

En déduire que le polynôme $P_{0}=X^{k+1}-\sum_{i=0}^{k}a_{i}X^{i}$ satisgfait $\big(P_{0}(u)\big)(x_{0})=0$.

Montrer que pour tout $x$ de $F$, il existe un polynôme $P\in\R[X]$ tel que $x=\big(P(u)\big)(x_{0})$.

A l’aide des questions ([q:P0(u)x0=0]) et ([q:x=P(u)x0]), montrer que $\forall x\in F, \exists R\in\R_{k}[X], x=\big(R(u)\big)(x_{0})$.

(on pourra effectuer la division eulidienne de $P$ par $P_{0}$)

En déduire que $(x_{0}\dots x_{k})$ est une base de $F$.

Ecrire la matrice de la restriction $u_{|_{F}}$ de $u$ à $F$ dans cette base. Quel est le polynôme caractéristique de $\tilde{u}$ ?

Montrer qu’il existe une base $\mathcal{B}$ de $E$ dans la quelle $$\mathrm{Mat}_{_{\mathcal{B}}}(u)= \begin{pmatrix} C_{1} &0 &\cdots&0\\ 0 &C_{2}& &\vdots\\ \vdots& &\ddots&0 \\ 0 &\cdots&0 &C_{r} \end{pmatrix}$$ où les matrices $C_{i}$ sont des matrices Compagnon.