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Soit $K$ un corps commutatif quelconque, et soit $F=\mathcal{M}_n(K)$ l’espace vectoriel sur $K$ des matrices carrées d’ordre $n$ à coefficients dans $K.$ Si $i$ et $j$ sont des entiers compris entre 1 et $n$, on note par $F_{ij}$ l’élément de $F$ dont le coefficient $(i,j)$ est 1 et dont les autres coefficients sont nuls. Montrer que les $F_{ij}$ forment une base de $F$. Dimension de $F$? Soit $D$ dans $F$ et diagonale. Soient $\alpha$ et $\beta$ dans $K$ et soit l’endomorphisme $\Phi$ de $F$ qui à la matrice $X$ fait correspondre la matrice $\Phi(X)=\alpha XD+ \beta DX.$ Calculer $\Phi(F_{ij}).$ $\Phi$ est il un endomorphisme diagonalisable? Donner son polynôme caractéristique en fonction des coefficients de $D$ et de $\alpha$ et $\beta$.