Soit $P=aX^3+bX^2+cX+d\in\Rr_3[X]$

$AP - (X^4-X)P= (X-1)P = aX^4+(b-a)X^3+(c-b)X^2+(d-c)X-d = a(X^4-X)+(b-a)X^3+(c-b)X^2+(a+d-c)X-d$ .

et donc $AP=(X^4-X)(P+a)+(b-a)X^3+(c-b)X^2+(a+d-c)X-d$ et donc $f(P) = (b-a)X^3+(c-b)X^2+(a+d-c)X-d$ . Par suite, $f$ est un endomorphisme de $E$ et la matrice de $f$ dans la base canonique $(1,X,X^2,X^3)$ de $E$ est

$A=\left( \begin{array}{cccc} -1&0&0&0\\ 1&-1&0&1\\ 0&1&-1&0\\ 0&0&1&-1 \end{array} \right)$ .

puis

$\begin{align*}\ensuremath \chi_A&=\left| \begin{array}{cccc} -1-X&0&0&0\\ 1&-1-X&0&1\\ 0&1&-1-X&0\\ 0&0&1&-1-X \end{array} \right|= (-1-X)\left| \begin{array}{ccc} -1-X&0&1\\ 1&-1-X&0\\ 0&1&-1-X \end{array} \right|\\ &= -(X+1)(-(X+1)^3+1) =X(X+1)(X^2+3X+3). \end{align*}$

$A$ admet quatre valeurs propres simples dans $\Cc$ , deux réelles 0 et -1 et deux non réelles $-1+j$ et $-1+j^2$ . $\chi_f$ n’est pas scindé sur $\Rr$ et donc $f$ n’est pas diagonalisable.

Soit $P\in E$ . $P\in\text{Ker}f\Leftrightarrow b-a = c-b = a+d-c = -d = 0\Leftrightarrow a=b=c\;\text{et}\;d=0$ . $\text{Ker}f=\text{Vect}(X^3+X^2+X)$ .

Soit $P\in E$ . $P\in\text{Ker}(f+Id)\Leftrightarrow b=c=a+d = 0\Leftrightarrow b=c=0\;\text{et}\;d=-a$ . $\text{Ker}(f+Id)= \text{Vect}(X^3-1)$ .

$\text{rg}(f) = 3$ et immédiatement $\text{Im}f =\text{Vect}(X-1,X^2-X,X^3-X^2)$ .

Si $\Kk=\Cc$ , on peut continuer :

$P\in\text{Ker}(f+(1-j)Id)\Leftrightarrow b-ja = c-jb = a + d - jc = - jd = 0\Leftrightarrow b = ja,\;c = j^2a\;\text{et}\;d=0$ .

Donc $\text{Ker}(f+(1-j)Id)=\text{Vect}(X^3+jX^2+j^2X)$ et en conjuguant $\text{Ker}(f+(1-j^2)Id) =\text{Vect}(X^3+j^2X^2+jX)$ .

Remarque. $B =X(X-1)(X-j)(X-j^2)$ et on a trouvé pour base de vecteurs propres les quatre polynômes de Lagrange $X^3-1 = (X-1)(X-j)(X-j^2)$ puis $X^3+X^2+X = X(X-j)(X-j^2)$ puis $X^3+jX^2+j^2X =X(X-1)(X-j^2)$ et enfin $X^3+j^2X^2+jX = X(X-1)(X-j )$ . C’est une généralité. On peut montrer que si $E =\Cc_n[X]$ et si $B$ a $n+1$ racines deux à deux distinctes dans $\Cc$ alors $f$ est diagonalisable et une base de vecteurs propres est fournie par les polynômes de Lagrange associés aux racines de $B$ et ceci pour un polynôme $A$ quelconque.

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