Soit \(P=aX^3+bX^2+cX+d\in\Rr_3[X]\)

\(AP - (X^4-X)P= (X-1)P = aX^4+(b-a)X^3+(c-b)X^2+(d-c)X-d = a(X^4-X)+(b-a)X^3+(c-b)X^2+(a+d-c)X-d\).

et donc \(AP=(X^4-X)(P+a)+(b-a)X^3+(c-b)X^2+(a+d-c)X-d\) et donc \(f(P) = (b-a)X^3+(c-b)X^2+(a+d-c)X-d\). Par suite, \(f\) est un endomorphisme de \(E\) et la matrice de \(f\) dans la base canonique \((1,X,X^2,X^3)\) de \(E\) est

\(A=\left( \begin{array}{cccc} -1&0&0&0\\ 1&-1&0&1\\ 0&1&-1&0\\ 0&0&1&-1 \end{array} \right)\).

puis

\[\begin{align*}\ensuremath \chi_A&=\left| \begin{array}{cccc} -1-X&0&0&0\\ 1&-1-X&0&1\\ 0&1&-1-X&0\\ 0&0&1&-1-X \end{array} \right|= (-1-X)\left| \begin{array}{ccc} -1-X&0&1\\ 1&-1-X&0\\ 0&1&-1-X \end{array} \right|\\ &= -(X+1)(-(X+1)^3+1) =X(X+1)(X^2+3X+3). \end{align*}\]

\(A\) admet quatre valeurs propres simples dans \(\Cc\), deux réelles 0 et -1 et deux non réelles \(-1+j\) et \(-1+j^2\). \(\chi_f\) n’est pas scindé sur \(\Rr\) et donc \(f\) n’est pas diagonalisable.

Soit \(P\in E\). \(P\in\text{Ker}f\Leftrightarrow b-a = c-b = a+d-c = -d = 0\Leftrightarrow a=b=c\;\text{et}\;d=0\). \(\text{Ker}f=\text{Vect}(X^3+X^2+X)\).

Soit \(P\in E\). \(P\in\text{Ker}(f+Id)\Leftrightarrow b=c=a+d = 0\Leftrightarrow b=c=0\;\text{et}\;d=-a\). \(\text{Ker}(f+Id)= \text{Vect}(X^3-1)\).

\(\text{rg}(f) = 3\) et immédiatement \(\text{Im}f =\text{Vect}(X-1,X^2-X,X^3-X^2)\).

Si \(\Kk=\Cc\), on peut continuer :

\(P\in\text{Ker}(f+(1-j)Id)\Leftrightarrow b-ja = c-jb = a + d - jc = - jd = 0\Leftrightarrow b = ja,\;c = j^2a\;\text{et}\;d=0\).

Donc \(\text{Ker}(f+(1-j)Id)=\text{Vect}(X^3+jX^2+j^2X)\) et en conjuguant \(\text{Ker}(f+(1-j^2)Id) =\text{Vect}(X^3+j^2X^2+jX)\).

Remarque. \(B =X(X-1)(X-j)(X-j^2)\) et on a trouvé pour base de vecteurs propres les quatre polynômes de Lagrange \(X^3-1 = (X-1)(X-j)(X-j^2)\) puis \(X^3+X^2+X = X(X-j)(X-j^2)\) puis \(X^3+jX^2+j^2X =X(X-1)(X-j^2)\) et enfin \(X^3+j^2X^2+jX = X(X-1)(X-j )\). C’est une généralité. On peut montrer que si \(E =\Cc_n[X]\) et si \(B\) a \(n+1\) racines deux à deux distinctes dans \(\Cc\) alors \(f\) est diagonalisable et une base de vecteurs propres est fournie par les polynômes de Lagrange associés aux racines de \(B\) et ceci pour un polynôme \(A\) quelconque.

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