Soit $\mu$ le polynôme minimal de $u$ et ${\cal D}$ l’ensemble des diviseurs unitaires de $\mu$ . Pour $P\in K[X]$ et $d=P\wedge\mu$ on a facilement $\mathrm{Ker}(P(u)) = \mathrm{Ker}(d(u))$ et $\Im(P(u)) = \Im(d(u))$ . Ceci montre déjà que $\cal K$ et ${\cal K} = \{\mathrm{Ker}(P(u)),\ P\in K[X]\}$ sont finis.

De plus, si $d\in{\cal D}$ alors l’annulateur minimal de $u_{|\Im(d(u))}$ est $\mu/d$ donc l’application $d \mapsto\Im(d(u))$ est injective sur $\cal D$ et $\mathrm{Card}\,({\cal I}) = \mathrm{Card}\,({\cal D})$ . De même, l’annulateur minimal de $u_{|\mathrm{Ker}(d(u))}$ est $d$ car $\mathrm{Ker}(d(u))\supset \Im(\frac\mu d(u))$ et $d$ est l’annulateur minimal de $u_{|\Im(\frac\mu d(u))}$ donc l’application $d \mapsto\mathrm{Ker}(d(u))$ est injective sur $\cal D$ et $\mathrm{Card}\,({\cal K}) = \mathrm{Card}\,({\cal D})$ .

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