Déterminons une base de vecteurs propres et \(P\) la matrice de passage.

Les trois sous-espaces propres distincts sont de dimension \(1\), il suffit de déterminer un vecteur propre pour chacune des valeurs propres.

\(\lambda=1\) : Le vecteur \(\vec u\) de coordonnées \((x,y,z)\) est un vecteur propre pour la valeur propre \(1\) si et seulement si \[\left\{\]\[\begin{aligned} 2y-z&=x \\ 3x-2y&=y \\ -2x+2y+z&=z\end{aligned}\]\[\right.\iff \left\{\]\[\begin{aligned} -x+2y-z&=0 \\ 3x-3y&=0 \\ -2x+2y&=0\end{aligned}\]\[\right.\iff \left\{\]\[\begin{aligned} x&=y \\ x&=z\end{aligned}\]\[\right.\] Le sous-espace propre associé à la valeur propre \(\lambda=1\) est la droite vectorielle engendrée par le vecteur \(\vec{e_1}\) de coordonnées \((1,1,1)\).

\(\lambda=2\) : Le vecteur \(\vec u\) de coordonnées \((x,y,z)\) est un vecteur propre pour la valeur propre \(2\) si et seulement si \[\left\{\]\[\begin{aligned} -2x+2y-z&=0 \\ 3x-4y&=0 \\ -2x+2y-z&=0\end{aligned}\]\[\right.\iff \left\{\]\[\begin{aligned} 3x-4y&=0 \\ -2x+2y-z&=0\end{aligned}\]\[\right.\] Le sous-espace propre associé à la valeur propre \(\lambda=2\) est la droite vectorielle engendrée par le vecteur \(\vec{e_2}\) de coordonnées \((4,3,-2)\).

\(\lambda=-4\) : Le vecteur \(\vec u\) de coordonnées \((x,y,z)\) est un vecteur propre pour la valeur propre \(-4\) si et seulement si \[\left\{\]\[\begin{aligned} -4x+2y-z&=0 \\ 3x+2y&=0 \\ -2x+2y+5z&=0\end{aligned}\]\[\right.\iff \left\{\]\[\begin{aligned} x-z&=0 \\ 2y+3x&=0\end{aligned}\]\[\right.\] Le sous-espace propre associé à la valeur propre \(\lambda=-4\) est la droite vectorielle engendrée par le vecteur \(\vec{e_3}\) de coordonnées \((2,-3,2)\).

Les vecteurs \(\vec{e_1}, \vec{e_2}\) et \(\vec{e_3}\) forment une base de \(E\) composée de vecteurs propres, la matrice de passage \(P\) est égale à \[P=\begin{pmatrix}1&4&2 \\ 1&3&-3 \\ 1&-2&2\end{pmatrix}\]

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