exo7 3555

On suppose $u$ diagonalisable et on note $\lambda_1,\dots,\lambda_p$ ses valeurs propres distinctes.

Montrer qu’il existe des endomorphismes $u_1,\dots,u_p$ tels que pour tout polynôme $P \in K[X]$, on ait :

$P(u) = \sum_{i=1}^p P(\lambda_i) u_i$.

Montrer qu’il existe un polynôme $P_i$ tel que $u_i = P_i(u)$.