exo7 1612

Déterminer le noyau de cette application linéaire. Donner la matrice $A$ de $T$ dans la base donnée.

On pose $f_1=e_1-e_3,$ $f_2=e_1-e_2,$ $f_3=-e_1+e_2+e_3.$ Calculer $e_1,$ $e_2,$ $e_3$ en fonction de $f_1,$ $f_2,$ $f_3.$ Les vecteurs $f_1,$ $f_2,$ $f_3$ forment-ils une base de $\Rr^{3}$ ?

Calculer $T(f_1),$ $T(f_2),$ $T(f_3)$ en fonction de $f_1,$ $f_2,$ $f_3.$ Écrire la matrice $B$ de $T$ dans cette nouvelle base.

On pose $P=\left (\begin{array}{rcl}1&1&-1\\0&-1&1\\-1&0&1 \end{array}\right ).$ Vérifier que $P$ est inversible et calculer $P^{-1}.$ Quelle relation relie $A,$ $B,$ $P$ et $P^{-1}$ ?