Soient trois vecteurs \(e_1,\) \(e_2,\) \(e_3\) formant une base de \(\Rr^{3}.\) On note \(T\) l’application linéaire définie par \(T(e_1)=T(e_3)=e_3\) et \(T(e_2)=-e_1+e_2+e_3.\)
Déterminer le noyau de cette application linéaire. Donner la matrice
\(A\) de \(T\) dans la base donnée.
On pose \(f_1=e_1-e_3,\) \(f_2=e_1-e_2,\) \(f_3=-e_1+e_2+e_3.\) Calculer
\(e_1,\) \(e_2,\) \(e_3\) en fonction de \(f_1,\) \(f_2,\) \(f_3.\) Les vecteurs
\(f_1,\) \(f_2,\) \(f_3\) forment-ils une base de \(\Rr^{3}\) ?
Calculer \(T(f_1),\) \(T(f_2),\) \(T(f_3)\) en fonction de \(f_1,\) \(f_2,\)
\(f_3.\) Écrire la matrice \(B\) de \(T\) dans cette nouvelle base.
On pose \(P=\left (\begin{array}{rcl}1&1&-1\\0&-1&1\\-1&0&1 \end{array}\right ).\) Vérifier que \(P\) est inversible et calculer \(P^{-1}.\) Quelle relation relie \(A,\) \(B,\) \(P\) et \(P^{-1}\) ?