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Quelle relation y a-t-il entre $\mathrm{Ker} u$ et $\Im u$ ? Montrer que $2\mathrm{rg} u \le \dim E$.

On suppose ici $\dim E = 4$ et $\mathrm{rg} u = 2$. Montrer qu’il existe une base $(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3},\vec{e_4})$ de $E$ telle que : $u(\vec{e_1}) = \vec{e_2}$, $u(\vec{e_2}) = \vec{0}$, $u(\vec{e_3}) = \vec{e_4}$, $u(\vec{e_4}) = \vec{0}$.

On suppose $\dim E = n$ et $\Im u = \mathrm{Ker} u$. Est-ce que $u$ est diagonalisable ?