Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(u\in \mathcal{L}(E)\) tel que \(u\circ u = 0\).
1
Quelle relation y a-t-il entre \(\mathrm{Ker} u\) et \(\Im u\) ? Montrer que \(2\mathrm{rg} u \le \dim E\).
2
On suppose ici \(\dim E = 4\) et \(\mathrm{rg} u = 2\). Montrer qu’il existe une base \((\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3},\vec{e_4})\) de \(E\) telle que : \(u(\vec{e_1}) = \vec{e_2}\), \(u(\vec{e_2}) = \vec{0}\), \(u(\vec{e_3}) = \vec{e_4}\), \(u(\vec{e_4}) = \vec{0}\).
3
On suppose \(\dim E = n\) et \(\Im u = \mathrm{Ker} u\). Est-ce que \(u\) est diagonalisable ?