Soit \(A\) la matrice \[A=\begin{pmatrix}1&0&0 \\ -1&2&1 \\ 0&0&2\end{pmatrix}\] et \(f\) l’endomorphisme de \(\R^3\) associé.
1
Déterminer les valeurs propres de \(A\).
2
Déterminer, sans calculs, des vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) tels que \(f(\vec u)=2\vec u\) et \(f(\vec v)=2\vec v+\vec u\).
3
Soit \(\vec e\) tel que \(f(\vec e)=\vec e\). Démontrer que \((\vec e,\vec u,\vec v)\) est une base de \(\R^3\) et écrire la matrice de \(f\) dans cette base.
4
La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ? (Justifier.)