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Soit $A$ la matrice $A=\begin{pmatrix}1&0&0 \\ -1&2&1 \\ 0&0&2\end{pmatrix}$ et $f$ l’endomorphisme de $\R^3$ associé.

Déterminer les valeurs propres de $A$ .

Déterminer, sans calculs, des vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ tels que $f(\vec u)=2\vec u$ et $f(\vec v)=2\vec v+\vec u$ .

Soit $\vec e$ tel que $f(\vec e)=\vec e$ . Démontrer que $(\vec e,\vec u,\vec v)$ est une base de $\R^3$ et écrire la matrice de $f$ dans cette base.

La matrice $A$ est-elle diagonalisable ? (Justifier.)