exo7 1707

Réduire la matrice $$A= \begin{pmatrix} 0& 1& 1\\ 1& 1& 0\\ 1&-3& 4 \end{pmatrix}$$ (c’est à dire étudier la diagonalisabilité ou la triangularisabilité de $A$, et donner une matrice $P$ telle que $P^{-1}AP$ soit aussi simple que possible)

Application : Déterminer toutes les fonctions dérivables $x,y,z$ de $\R$ dans $\R$ satisfaisant les conditions : $$\left\{ \begin{aligned} x'&=y+z\\ y'&=x+y\\ z'&=x-3y+4z \end{aligned} \right.\qquad \text{ et }\qquad \left\{ \begin{aligned} x(0)&=1\\ y(0)&=0\\ z(0)&=0 \end{aligned} \right.$$ (on rappelle qu’il n’est pas utile de calculer $P^{-1}$... )