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Montrer que $AB$ et $BA$ ont les mêmes valeurs propres.

Montrer que si $A$ ou $B$ est inversible, alors $AB$ et $BA$ ont même polynôme caractéristique.

Dans le cas général, on note $M = \begin{pmatrix} BA &-B\cr 0 &0 \end{pmatrix}$, $N = \begin{pmatrix} 0 &-B\cr 0 &AB \end{pmatrix}$, $P = \begin{pmatrix} I_n & 0\cr A &I_n \end{pmatrix}$ ($M,N,P \in \mathcal{M}_{2n}(K)$).

Vérifier que $MP$ = $PN$, montrer que $P$ est inversible, et conclure.