Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(K)\).
1
Montrer que \(AB\) et \(BA\) ont les mêmes valeurs propres.
2
Montrer que si \(A\) ou \(B\) est inversible, alors \(AB\) et \(BA\) ont même polynôme caractéristique.
3
Dans le cas général, on note \(M = \begin{pmatrix} BA &-B\cr 0 &0 \end{pmatrix}\), \(N = \begin{pmatrix} 0 &-B\cr 0 &AB \end{pmatrix}\), \(P = \begin{pmatrix} I_n & 0\cr A &I_n \end{pmatrix}\) (\(M,N,P \in \mathcal{M}_{2n}(K)\)).
Vérifier que \(MP\) = \(PN\), montrer que \(P\) est inversible, et conclure.