Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) sur un corps \(K\), \(u\) un endomorphisme de \(E\) et \(P \in K[X]\). On suppose que \(u\) vérifie l’équation \(P(u) = 0\).
1
Montrer que si \(\lambda\) est une valeur propre de \(u\), alors \(P(\lambda) = 0\).
2
On suppose que \(P\) est de la forme \[P(X) = \prod_{i=1}^n (X - a_i), \quad\mbox{\rm avec } a_i \neq a_j \mbox{ \rm si } i\neq j.\] Montrer que les seules matrices vérifiant \(P(M) = 0\) sont de la forme \(Q^{-1}DQ\), avec \(Q\) matrice inversible quelconque et \(D\) matrice diagonale que l’on précisera. Combien y a-t-il de matrices diagonales de ce type ?