L2 Algèbre Réduction d'endomorphisme, polynôme annulateur Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa BCPST Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa PT Prépa BCPST 2 questions

exo7 2471

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ sur un corps $K$ , $u$ un endomorphisme de $E$ et $P \in K[X]$ . On suppose que $u$ vérifie l’équation $P(u) = 0$ .

Montrer que si $\lambda$ est une valeur propre de $u$ , alors $P(\lambda) = 0$ .

On suppose que $P$ est de la forme $P(X) = \prod_{i=1}^n (X - a_i), \quad\mbox{\rm avec } a_i \neq a_j \mbox{ \rm si } i\neq j.$ Montrer que les seules matrices vérifiant $P(M) = 0$ sont de la forme $Q^{-1}DQ$ , avec $Q$ matrice inversible quelconque et $D$ matrice diagonale que l’on précisera. Combien y a-t-il de matrices diagonales de ce type ?