Soit \(A=\begin{pmatrix}a_1 &1 & &(0)\cr a_2 & &\ddots & \cr \vdots & & &1 \cr a_n &(0)& &0 \cr\end{pmatrix}\) où les \(a_i\) sont des réels positifs ou nuls, avec \(a_1a_n > 0\).
1
Quel est le polynôme caractérique de \(A\) ?
2
Montrer que \(A\) admet une unique valeur propre \(r>0\) et que l’on a \(r < 1 + \max(a_1,\dots,a_n)\).
3
Soit \(\lambda\) une valeur propre complexe de \(A\). Montrer que \(|\lambda| \le r\) et \(|\lambda|=r \Rightarrow \lambda=r\).
4
Montrer qu’il existe un entier \(k\) tel que \(A^k\) a tous ses coefficients strictement positifs.