L2 Algèbre Réduction d'endomorphisme, polynôme annulateur Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa BCPST Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa PT Prépa BCPST 4 questions

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Soit $A=\begin{pmatrix}a_1 &1 & &(0)\cr a_2 & &\ddots & \cr \vdots & & &1 \cr a_n &(0)& &0 \cr\end{pmatrix}$ où les $a_i$ sont des réels positifs ou nuls, avec $a_1a_n > 0$ .

Quel est le polynôme caractérique de $A$ ?

Montrer que $A$ admet une unique valeur propre $r>0$ et que l’on a $r < 1 + \max(a_1,\dots,a_n)$ .

Soit $\lambda$ une valeur propre complexe de $A$ . Montrer que $|\lambda| \le r$ et $|\lambda|=r \Rightarrow \lambda=r$ .

Montrer qu’il existe un entier $k$ tel que $A^k$ a tous ses coefficients strictement positifs.