L2 Algèbre Réduction d'endomorphisme, polynôme annulateur Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa BCPST 7 questions

exo7 1596

On se place dans E=C  4E=\C\,\,^4 muni de sa base canonique b=(e1,e2,e3,e4).b=(e_1,e_2,e_3,e_4). On désigne par jj l’endomorphisme de EE dont la matrice dans bb est la matrice suivante J=(0100001000011000)∈M4(C).J=\left( \begin{array}{cccc} 0&1 &0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ 1&0&0&0 \end{array} \right)\in M_4(\C).

1

Déterminer l’image de bb par j,j, j2,j^2, j3,j^3, et j4.j^4.

2

En déduire J2,J^2, J3J^3 et J4.J^4.

3

Déterminer un polynôme annulateur non nul de J.J.

4

Montrer que si P∈C[X]P\in\C[X] avec deg(P)≤3\mathrm{deg}(P)\leq 3 vérifie P(J)=0P(J)=0 alors P=0P=0.

5

En déduire le polynôme minimal de J.J.

6

Montrer que JJ est diagonalisable.

7

Déterminer les valeurs propres de J.J.

Exercice KS1b

Signaler une erreur

  1. Problème
  2. Précisions
  3. Envoi
Quel est le problème ?