On se place dans \(E=\C\,\,^4\) muni de sa base canonique \(b=(e_1,e_2,e_3,e_4).\) On désigne par \(j\) l’endomorphisme de \(E\) dont la matrice dans \(b\) est la matrice suivante \[J=\left( \begin{array}{cccc} 0&1 &0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ 1&0&0&0 \end{array} \right)\in M_4(\C).\]
1
Déterminer l’image de \(b\) par \(j,\) \(j^2,\) \(j^3,\) et \(j^4.\)
2
En déduire \(J^2,\) \(J^3\) et \(J^4.\)
3
Déterminer un polynôme annulateur non nul de \(J.\)
4
Montrer que si \(P\in\C[X]\) avec \(\mathrm{deg}(P)\leq 3\) vérifie \(P(J)=0\) alors \(P=0\).
5
En déduire le polynôme minimal de \(J.\)
6
Montrer que \(J\) est diagonalisable.
7
Déterminer les valeurs propres de \(J.\)