L2 Algèbre Réduction d'endomorphisme, polynôme annulateur Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPSTPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PTPrépa BCPST 2 questions

exo7 1671

Soit BB une matrice diagonalisable  de Mn(R)\mathcal{M}_n \left (\mathbb{R} \right ). On définit son rayon spectral par ρ(B)=max⁡{∣λ∣  avec  λ  est une valeur propre  de  B}.\rho(B)= \max \left \{ |\lambda| \mbox{~~avec~~} \lambda \mbox{~~est une valeur propre ~de~~} B \right \}.

1

Montrer que lim⁡k⟶+∞Bk=0\lim _{k \longrightarrow + \infty} B^k= 0.

2

En déduire que I−BI-B est inversible et que (I−B)−1=∑k=0+∞Bk(I-B)^{-1}= \displaystyle{\sum _{k=0}^{+ \infty}} B^{k}.

Exercice 485v

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