Si \(p = q\), le résultat est connu : \(\chi_{AB}=\chi_{BA}\).

Supposons par exemple \(p < q\). On se ramène au cas de matrices carrées en complétant. Soient \(A'=\left( \begin{array}{c} A\\ 0_{q-p,q} \end{array} \right)\) et \(B'=\left( \begin{array}{cc} B&0_{q,q-p} \end{array} \right)\). \(A'\) et \(B'\) sont des matrices carrées de format \(q\) et \(A'B'\) et \(B'A'\) ont même polynôme caractéristique.

Un calcul par blocs donne \(B'A'=BA\) et \(A'B'=\left( \begin{array}{c} A\\ 0_{q-p,q} \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} B&0_{q,q-p} \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} AB&0_{p,q-p}\\ 0_{q-p,p}&0_{q-p,q-p} \end{array} \right)\). Donc \(\chi_{BA}=(-X)^{q-p}\chi_{AB}\) ou encore, avec une écriture plus symétrique, \((-X)^p\chi_{BA}= (-X)^q\chi_{AB}\) ce qui vrai dans tous les cas.

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