1
On note \((\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)\) la base canonique de \(\R^3\). Soit \(A\) la matrice \[A=\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&2&0 \\ 0&0&3\end{pmatrix}.\] Donner sans calcul les valeurs propres de \(A\) et une base de vecteurs propres.
2
On cherche à déterminer, s’il en existe, les matrices \(B\) telles que \(\exp B=A\).
3
Montrer que si \(A=\exp B\), alors \(AB=BA\).
4
En déduire que la base \((\vec e_1,\vec e_2, \vec e_3)\) est une base de vecteurs propres de B.
5
Déterminer toutes les matrices \(B\in M_3(\R)\) telles que \(\exp B=A\). Justifier.