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On note $(\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)$ la base canonique de $\R^3$. Soit $A$ la matrice $$A=\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&2&0 \\ 0&0&3\end{pmatrix}.$$ Donner sans calcul les valeurs propres de $A$ et une base de vecteurs propres.

On cherche à déterminer, s’il en existe, les matrices $B$ telles que $\exp B=A$.

Montrer que si $A=\exp B$, alors $AB=BA$.

En déduire que la base $(\vec e_1,\vec e_2, \vec e_3)$ est une base de vecteurs propres de B.

Déterminer toutes les matrices $B\in M_3(\R)$ telles que $\exp B=A$. Justifier.