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Calculer le polynôme caractéristique et déterminer les valeurs propres de $A$.

On note $\lambda_1>\lambda_2$ les valeurs propres de $A$, $E_1$ et $E_2$ les sous-espaces propres associés. Déterminer une base $(\vec{\varepsilon_1},\vec{\varepsilon_2})$ de $\R^2$ telle que $\vec{\varepsilon_1}\in E_1$, $\vec{\varepsilon_2}\in E_2$, les deux vecteurs ayant des coordonnées de la forme $(1,y)$.

Soit $\vec x$ un vecteur de $\R^2$, on note $(\alpha,\beta)$ ses coordonnées dans la base $(\vec{\varepsilon_1},\vec{\varepsilon_2})$. Démontrer que, pour $n\in\N$, on a $$A^n\vec x=\alpha\lambda_1^n\vec{\varepsilon_1}+\beta\lambda_2^n\vec{\varepsilon_2}$$

Notons $A^n\vec x=\begin{pmatrix}a_n \\ b_n\end{pmatrix}$ dans la base canonique de $\R^2$. Exprimer $a_n$ et $b_n$ en fonction de $\alpha$, $\beta$, $\lambda_1$ et $\lambda_2$. En déduire que, si $\alpha\neq 0$, la suite ${\frac{b_n}{a_n}}$ tend vers $\sqrt2$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

Expliquer, sans calcul, comment obtenir à partir des questions précédentes une approximation de $\sqrt2$ par une suite de nombres rationnels.