Soit \(A\) la matrice suivante \[A=\begin{pmatrix}1&1 \\ 2&1\end{pmatrix}\]
Calculer le polynôme caractéristique et déterminer les valeurs propres de \(A\).
On note \(\lambda_1>\lambda_2\) les valeurs propres de \(A\), \(E_1\) et \(E_2\) les sous-espaces propres associés. Déterminer une base \((\vec{\varepsilon_1},\vec{\varepsilon_2})\) de \(\R^2\) telle que \(\vec{\varepsilon_1}\in E_1\), \(\vec{\varepsilon_2}\in E_2\), les deux vecteurs ayant des coordonnées de la forme \((1,y)\).
Soit \(\vec x\) un vecteur de \(\R^2\), on note \((\alpha,\beta)\) ses coordonnées dans la base \((\vec{\varepsilon_1},\vec{\varepsilon_2})\). Démontrer que, pour \(n\in\N\), on a \[A^n\vec x=\alpha\lambda_1^n\vec{\varepsilon_1}+\beta\lambda_2^n\vec{\varepsilon_2}\]
Notons \(A^n\vec x=\begin{pmatrix}a_n \\ b_n\end{pmatrix}\) dans la base canonique de \(\R^2\). Exprimer \(a_n\) et \(b_n\) en fonction de \(\alpha\), \(\beta\), \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\). En déduire que, si \(\alpha\neq 0\), la suite \({\frac{b_n}{a_n}}\) tend vers \(\sqrt2\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).
Expliquer, sans calcul, comment obtenir à partir des questions précédentes une approximation de \(\sqrt2\) par une suite de nombres rationnels.