Dans l’espace vectoriel \(\R_{3}[X]\), on considère l’application linéaire suivante : \[u~: \begin{array}{rcl} \R_{3}[X] & \rightarrow & \R_{3}[X] \\[2ex] P & \mapsto & P (0)X^{3} +P'(0)X^{2} +\frac{1}{2}P''(0)X +\frac{1}{6}P'''(0) \end{array}\]
1
Ecrire la matrice \(A\) de \(u\) dans la base canonique. Calculer \(A^{2}\).
2
\(u\) est-elle diagonalisable ? Si oui, donner une base de \(\R^{3}[X]\) formée de vecteurs propres de \(u\).