L2 Algèbre Réduction d'endomorphisme, polynôme annulateur Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa BCPST Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa PT Prépa BCPST 2 questions

exo7 1643

Dans l’espace vectoriel $\R_{3}[X]$ , on considère l’application linéaire suivante : $u~: \begin{array}{rcl} \R_{3}[X] & \rightarrow & \R_{3}[X] \\[2ex] P & \mapsto & P (0)X^{3} +P'(0)X^{2} +\frac{1}{2}P''(0)X +\frac{1}{6}P'''(0) \end{array}$

Ecrire la matrice $A$ de $u$ dans la base canonique. Calculer $A^{2}$ .

$u$ est-elle diagonalisable ? Si oui, donner une base de $\R^{3}[X]$ formée de vecteurs propres de $u$ .