L2 Algèbre Réduction d'endomorphisme, polynôme annulateur Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa BCPST 3 questions

exo7 1657

Soit ρ\rho l’application de R4[X]\R _4[X] dans lui-même qui à un polynôme PP associe le reste de la division euclidienne de PP par (X2−1).(X^2-1) .

1

Montrer que ρ\rho est linéaire.

2

Montrer que ρ2=ρ.\rho ^2= \rho . En déduire que ρ\rho est diagonalisable.

3

Déterminer (de préférence sans calcul) une base de vecteurs propres pour ρ.\rho .

Exercice 47oK

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