Montrons le résultat par récurrence sur $n =\text{dim} E\geqslant 1$ .

Si $n = 1$ , c’est clair.

Soit $n\geqslant 1$ . Supposons que deux endomorphismes d’un $\Cc$ -espace de dimension $n$ qui commutent soient simultanément trigonalisables.

Soient $f$ et $g$ deux endomorphismes d’un $\Cc$ -espace vectoriel de dimension $n+1$ tels que $fg = gf$ .

$f$ et $g$ ont au moins un vecteur propre en commun. En effet, $f$ admet au moins une valeur propre $\lambda$ . Soit $E_\lambda$ le sous-espace propre de $f$ associé à $\lambda$ . $g$ commute avec $f$ et donc laisse stable $E_\lambda$ . La restriction de $g$ à $E_\lambda$ est un endomorphisme de $E_\lambda$ qui est de dimension finie non nulle. Cette restriction admet donc une valeur propre et donc un vecteur propre. Ce vecteur est un vecteur propre commun à $f$ et $g$ .

Commençons à construire une base de trigonalisation simultanée de $f$ et $g$ . Soit $x$ un vecteur propre commun à $f$ et $g$ . On complète la famille libre $(x)$ en une base $\mathcal{B}= (x,...)$ de $E$ . Dans la base $\mathcal{B}$ , les matrices $M$ et $N$ de $f$ et $g$ s’écrivent respectivement $M=\left( \begin{array}{cc} \lambda&\times\\ 0&M_1 \end{array} \right)$ et $N=\left( \begin{array}{cc} \mu&\times\\ 0&N_1 \end{array} \right)$ où $M_1$ et $N_1$ sont de format $n$ . Un calcul par blocs montre que $M_1$ et $N_1$ commutent ou encore si $f_1$ et $g_1$ sont les endomorphismes de $\Cc^n$ de matrices $M_1$ et $N_1$ dans la base canonique de $\Cc^n$ , $f_1$ et $g_1$ commutent. Par hypothèse de récurrence, $f_1$ et $g_1$ sont simultanément trigonalisables. Donc il existe une matrice inversible de format $n$ $P_1$ et deux matrices triangulaires supérieures de format $n$ $T_1$ et $T_1'$ telles que $P_1^{-1}M_1P_1=T_1$ et $P_1^{-1}N_1P_1 = T_1'$ .

Soit $P=\left( \begin{array}{cc} 1&0\\ 0&P_1 \end{array} \right)$ . $P$ est inversible de format $n+1$ car $\text{det}P =\text{det}P_1\neq0$ et un calcul par blocs montre que $P^{-1}MP$ et $P^{-1}NP$ sont triangulaires supérieures.

$P$ est donc la matrice de passage de la base $\mathcal{B}$ à une base de trigonalisation simultanée de $f$ et $g$ .

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