Soit \(P=X^3+X^2+X=X(X-j)(X-j^2)\). \(P\) est à racines simples dans \(\Cc\) et annulateur de \(A\). Donc \(A\) est diagonalisable dans \(\Cc\) et ses valeurs propres sont à choisir dans \(\{0,j,j^2\}\). Le polynôme caractéristique de \(A\) est de la forme \((-1)^nX^\alpha(X-j)^\beta(X-j^2)^\gamma\) avec \(\alpha+\beta+\gamma=n\). De plus, \(A\) est réelle et on sait que \(j\) et \(j^2=\overline{j}\) ont même ordre de multiplicité ou encore \(\gamma=\beta\).

Puisque \(A\) est diagonalisable, l’ordre de multiplicité de chaque valeur propre est égale à la dimension du sous-espace propre correspondant et donc

\(\text{rg}(A)=n-\text{dim}(\text{Ker}A)=n-\alpha=2\beta\).

On a montré que \(\text{rg}A\) est un entier pair.

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