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Montrer que la condition $f^2=0$ est équivalente à $Im f \subset Ker f$. Quelle condition vérifie alors le rang de $f$ ? On suppose dans la suite que $f^2=0$.

Soit $F$ un supplémentaire de $Ker f$ dans $E$ et soit $(e_1, \ldots , e_r)$ une base de $F$. Montrer que la famille des vecteurs $(e_1, \ldots , e_r,f(e_1), \ldots , f(e_r))$ est libre. Montrer comment la compléter si nécessaire par des vecteurs de $Ker f$ pour obtenir une base de $E$. Quelle est la matrice de $f$ dans cette base ?

Sous quelle condition nécessaire et suffisante a-t-on $Im f= Ker f$ ?

Exemple. Soit $f$ une application linéaire de $\Rr^3$ dans $\Rr^3$ de matrice dans la base canonique $M(f) = \left( \begin{array}{ccc} 1&0&1 \\ 2&0&2 \\ -1&0&-1 \\ \end{array}\right)$. Montrer que $f^2=0$. Déterminer une nouvelle base dans laquelle la matrice de $f$ a la forme indiquée dans la question 2).