Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) et \(f\) une application linéaire de \(E\) dans \(E\).
Montrer que la condition \(f^2=0\) est équivalente à \(Im f \subset Ker f\). Quelle condition vérifie alors le rang de \(f\) ? On suppose dans la suite que \(f^2=0\).
Soit \(F\) un supplémentaire de \(Ker f\) dans \(E\) et soit \((e_1, \ldots , e_r)\) une base de \(F\). Montrer que la famille des vecteurs \((e_1, \ldots , e_r,f(e_1), \ldots , f(e_r))\) est libre. Montrer comment la compléter si nécessaire par des vecteurs de \(Ker f\) pour obtenir une base de \(E\). Quelle est la matrice de \(f\) dans cette base ?
Sous quelle condition nécessaire et suffisante a-t-on \(Im f= Ker f\) ?
Exemple. Soit \(f\) une application linéaire de \(\Rr^3\) dans \(\Rr^3\) de matrice dans la base canonique \(M(f) = \left( \begin{array}{ccc} 1&0&1 \\ 2&0&2 \\ -1&0&-1 \\ \end{array}\right)\). Montrer que \(f^2=0\). Déterminer une nouvelle base dans laquelle la matrice de \(f\) a la forme indiquée dans la question 2).