Soit \(T\) l’application linéaire de \(\mathbb R^3\) dans \(\mathbb R^3\) définie par sa matrice \(A\) dans la base canonique \((e_1,e_2,e_3)\) de \(\mathbb R^3\) : \[A= {\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3& -1 \\ 1 & -1& 3\end{pmatrix}}.\]
1
Donner un base de Ker \(T\) et Im\(T\).
2
Calculer le polynôme caractéristique de \(T\), puis ses valeurs propres.
3
Justifier, sans calcul, que \(T\) soit diagonalisable et écrire une matrice diagonale semblable à \(A\) .
4
Calculer une base de \(\mathbb R^3\) formée de vecteurs propres de \(T\).