L2 Algèbre Réduction d'endomorphisme, polynôme annulateur Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa PT Prépa BCPST 4 questions

exo7 1621

Soit $T$ l’application linéaire de $\mathbb R^3$ dans $\mathbb R^3$ définie par sa matrice $A$ dans la base canonique $(e_1,e_2,e_3)$ de $\mathbb R^3$ : $A= {\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3& -1 \\ 1 & -1& 3\end{pmatrix}}.$

Donner un base de Ker $T$ et Im $T$ .

Calculer le polynôme caractéristique de $T$ , puis ses valeurs propres.

Justifier, sans calcul, que $T$ soit diagonalisable et écrire une matrice diagonale semblable à $A$ .

Calculer une base de $\mathbb R^3$ formée de vecteurs propres de $T$ .