Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\R^3\) dont la matrice dans la base canonique est \[A=\begin{pmatrix}-4&-2&-2 \\ 2&0&2 \\ 3&3&1\end{pmatrix}.\]
1
Déterminer et factoriser le polynôme caractéristique de \(A\).
2
Démontrer que les valeurs propres de \(A\) sont \(1\) et \(-2\). Déterminer les sous-espaces propres associés.
3
Démontrer que \(A\) est diagonalisable et donner une base de \(\R^3\) dans laquelle la matrice de \(u\) est diagonale.
4
Trouver une matrice \(P\) telle que \(P^{-1}AP\) soit diagonale.