Soit \(A\) un élément de \(E\) tel qu’il existe un entier naturel non nul \(p\) tel que \(A^p =I_2\).

\(A\) est diagonalisable dans \(\Cc\) car annule le polynôme à racines simples \(X^p-1\).

\(A\) admet deux valeurs propres distinctes ou confondues qui sont des racines \(p\)-èmes de \(1\) dans \(\Cc\) et puisque \(A\) est réelle, on obtient les cas suivants :

1er cas. Si \(\text{Sp}A =(1,1)\), puisque \(A\) est diagonalisable, \(A\) est semblable à \(I_2\) et par suite \(A = I_2\). Dans ce cas, \(A^{12}= I_2\).

2ème cas. Si \(\text{Sp}A = (-1,-1)\), \(A = -I_2\) et \(A^{12}=I_2\).

3ème cas. Si \(\text{Sp}A = (1,-1)\) alors \(A\) est semblable à \(\text{diag}(1,-1)\) et donc \(A^2 = I_2\) puis encore une fois \(A^{12}= I_2\).

4ème cas. Si \(\text{Sp}A =(e^{i\theta},e^{-i\theta})\). Dans ce cas \(\text{Tr}A = 2cos\theta\) est un entier ce qui impose \(2\cos\theta\in\{-2,-1,0,1,2\}\). Les cas \(\cos\theta= 1\) et \(\cos\theta=-1\) ont déjà été étudié.

Si \(\cos\theta= 0\), \(\text{Sp}A=(i,-i)\) et \(A\) est semblable à \(\text{diag}(i,-i)\). Donc \(A^4 =I_2\) puis \(A^{12}= I_2\).

Si \(\cos\theta=\pm\frac{1}{2}\), \(\text{Sp}A=(j,j^2)\) ou \(\text{Sp}A=(-j,-j^2)\). Dans le premier cas, \(A^3 = I_2\) et dans le deuxième \(A^6 = I_2\).

Dans tous les cas \(A^{12}= I_2\).

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