Soit $X\in\mathcal{M}_3(\Rr)$ . Si $X^2 = A$ alors $AX= X^3 = XA$ et donc $X$ et $A$ commutent.

$A$ admet trois valeurs propres réelles et simples à savoir $1$ , $3$ et $4$ . Donc $A$ est diagonalisable dans $\Rr$ et les sous espaces propres de $A$ sont des droites. $X$ commute avec $A$ et donc laisse stable les trois droites propres de $A$ .

Ainsi une base de $\mathcal{M}_{3,1}(\Rr)$ formée de vecteurs propres de $A$ est également une base de vecteurs propres de $X$ ou encore, si $P$ est une matrice réelle inversible telle que $P^{-1}AP$ soit une matrice diagonale $D_0$ alors pour la même matrice $P$ , $P^{-1}XP$ est une matrice diagonale $D$ . De plus

$X^2 =A\Leftrightarrow PD^2P^{-1}= PD_0P^{-1}\Leftrightarrow D^2 = D_0\Leftrightarrow D =\text{diag}(\pm\sqrt{3},\pm2, \pm1)$

ce qui fournit huit solutions deux à opposées. On peut prendre $P=\left( \begin{array}{ccc} 2&0&0\\ -16&1&0\\ 5&0&1 \end{array} \right)$ puis $P^{-1}=\left( \begin{array}{ccc} 1/2&0&0\\ 8&1&0\\ -5/2&0&1 \end{array} \right)$ . D’où les solutions

$\begin{align*}\ensuremath \left( \begin{array}{ccc} 2&0&0\\ -16&1&0\\ 5&0&1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} \sqrt{3}\varepsilon_1&0&0\\ 0&2\varepsilon&0\\ 0&0&\varepsilon_3 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1/2&0&0\\ 8&1&0\\ -5/2&0&1 \end{array} \right)&=\left( \begin{array}{ccc} 2\sqrt{3}\varepsilon_1&0&0\\ -16\sqrt{3}\varepsilon_1&2\varepsilon_2&0\\ 5\sqrt{3}\varepsilon_1&0&\varepsilon_3 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1/2&0&0\\ 8&1&0\\ -5/2&0&1 \end{array} \right)\\ &=\left( \begin{array}{ccc} \sqrt{3}\varepsilon_1&0&0\\ -8\sqrt{3}\varepsilon_1+16\varepsilon_2&2\varepsilon_2&0\\ 5(\sqrt{3}\varepsilon_1-\varepsilon_3)/2&0&\varepsilon_3 \end{array} \right). \end{align*}$

où $(\varepsilon_1, \varepsilon_2,\varepsilon_3)\in\{-1,1\}^3$ .

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