Soit \(A\) la matrice \[A=\begin{pmatrix}1&-1&0 \\ 1&0&-1 \\ -1&0&2\end{pmatrix}\] et \(f\) l’endomorphisme de \(\R^3\) associé.
1
Factoriser le polynôme caractéristique de \(A\).
2
Déterminer les sous-espaces propres et caractéristiques de \(A\).
3
Démontrer qu’il existe une base de \(\R^3\) dans laquelle la matrice de \(f\) est \[B=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0&1&1 \\ 0&0&1\end{pmatrix}\] et trouver une matrice \(P\) inversible telle que \(A=PBP^{-1}\).
4
Ecrire la décomposition de Dunford de \(B\) (justifier).
5
Pour \(t\in\R\), calculer \(\exp tB\).
6
Donner les solutions des systèmes différentiels \(Y'=BY\) et \(X'=AX\).