({\it 7 points}) Soient $M$ et $A$ deux matrices de ${\cal{M}}_n(\R)$ telles que $MA=AM$. On suppose que $M$ admet $n$ valeurs propres distinctes. \begin {enumerate}
Soit \(x\) un vecteur propre de \(M\) de valeur propre \(\lambda\), montrer que \(MAx=\lambda Ax,\) en déduire que les vecteurs \(x\) et \(Ax\) sont colinéaires, puis que tout vecteur propre de \(M\) est un vecteur propre de \(A\).
On note maintenant $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ les valeurs propres de $M$ et $\mu_1,\cdots,\mu_n$ celles de $A$. \begin {enumerate}
Montrer par récurrence sur \(n\) l’égalité suivante : \[\begin{vmatrix}1 &\lambda_1 &\cdots &\lambda_1^{n-1} \\ \vdots& & &\vdots \\ 1 &\lambda_n &\cdots & \lambda_n^{n-1}\end{vmatrix}= \prod_{1\leq i<j\leq n}(\lambda_i-\lambda_j).\] En déduire que le système suivant \[\left\{\]\[\begin{aligned} \mu_1&=\alpha_0+\alpha_1\lambda_1+\cdots+\alpha_{n-1}\lambda_1^{n-1} \\ \vdots \\ \mu_n &=\alpha_0+\alpha_1\lambda_n+\cdots+\alpha_{n-1}\lambda_n^{n-1} \\ \end{aligned}\]\[\right.\] admet une unique solution \((\alpha_0,\cdots,\alpha_{n-1})\in\R^n.\)
Soient $M'$ et $A'$ les matrices diagonales suivantes :
$$M'=\begin{pmatrix}\lambda_1 & 0 &\cdots & 0
0 &\ddots & & 0
\vdots & & & \vdots
0 & \cdots & 0 &\lambda_n
\end{pmatrix},\ \
A'=\begin{pmatrix}\mu_1 & 0 &\cdots & 0
0 &\ddots & & 0
\vdots & & & \vdots
0 & \cdots & 0 &\mu_n
\end{pmatrix}.$$
Montrer qu'il existe des r\'eels $\alpha_0,\cdots,\alpha_{n-1}$ tels que
$$A'=\sum_{k=0}^{n-1}\alpha_k M'^k$$ et en d\'eduire qu'il existe des r\'eels $\alpha_0,\cdots,\alpha_{n-1}$ tels que
$$A=\sum_{k=0}^{n-1}\alpha_k M^k.$$
\end {enumerate}
\end {enumerate}