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Soit $x$ un vecteur propre de $M$ de valeur propre $\lambda$, montrer que $MAx=\lambda Ax,$ en déduire que les vecteurs $x$ et $Ax$ sont colinéaires, puis que tout vecteur propre de $M$ est un vecteur propre de $A$.

On note maintenant $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ les valeurs propres de $M$ et $\mu_1,\cdots,\mu_n$ celles de $A$.

Montrer par récurrence sur $n$ l’égalité suivante : $$\begin{vmatrix}1 &\lambda_1 &\cdots &\lambda_1^{n-1} \\ \vdots& & &\vdots \\ 1 &\lambda_n &\cdots & \lambda_n^{n-1}\end{vmatrix}= \prod_{1\leq i<j\leq n}(\lambda_i-\lambda_j).$$ En déduire que le système suivant $$\left\{\begin{aligned}\mu_1&=\alpha_0+\alpha_1\lambda_1+\cdots+\alpha_{n-1}\lambda_1^{n-1} \\ \vdots \\ \mu_n &=\alpha_0+\alpha_1\lambda_n+\cdots+\alpha_{n-1}\lambda_n^{n-1} \\ \end{aligned}\right.$$ admet une unique solution $(\alpha_0,\cdots,\alpha_{n-1})\in\R^n.$

Soient $M'$ et $A'$ les matrices diagonales suivantes : $$M'=\begin{pmatrix}\lambda_1 & 0 &\cdots & 0 \\ 0 &\ddots & & 0 \\ \vdots & & & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 &\lambda_n \\ \end{pmatrix},\ \ A'=\begin{pmatrix}\mu_1 & 0 &\cdots & 0 \\ 0 &\ddots & & 0 \\ \vdots & & & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 &\mu_n \\ \end{pmatrix}.$$ Montrer qu’il existe des réels $\alpha_0,\cdots,\alpha_{n-1}$ tels que $$A'=\sum_{k=0}^{n-1}\alpha_k M'^k$$ et en déduire qu’il existe des réels $\alpha_0,\cdots,\alpha_{n-1}$ tels que $$A=\sum_{k=0}^{n-1}\alpha_k M^k.$$