Soient \(u,v,h\) trois endomorphismes de \(\R^n\) tels que : \[u\circ v = v\circ u,\quad u\circ h - h\circ u = -2u,\quad v\circ h - h\circ v = -2v.\]
1
Cas particulier, \(n=3\), \(\text{Mat}(u) = \begin{pmatrix} 0&1&0\cr 0&0&1\cr 0&0&0\cr\end{pmatrix}\). Déterminer si \(v\) et \(h\) existent et si oui, les donner.
2
Cas général.
3
Que peut-on dire de \(\mathrm{tr}(u)\) et \(\mathrm{tr}(v)\) ?
4
Montrer que \(u\) et \(v\) sont non inversibles. Montrer que \(\mathrm{Ker} u\) et \(\mathrm{Ker} v\) sont stables par \(h\).
5
Déterminer \(u^k\circ h - h\circ u^k\) pour \(k\in\N\). Déterminer \(P(u)\circ h - h \circ P(u)\) pour \(P\in\R[X]\).
6
Quel est le polynôme minimal de \(u\) ?