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Cas particulier, $n=3$, $\text{Mat}(u) = \begin{pmatrix} 0&1&0\cr 0&0&1\cr 0&0&0\cr\end{pmatrix}$. Déterminer si $v$ et $h$ existent et si oui, les donner.

Cas général.

Que peut-on dire de $\mathrm{tr}(u)$ et $\mathrm{tr}(v)$ ?

Montrer que $u$ et $v$ sont non inversibles. Montrer que $\mathrm{Ker} u$ et $\mathrm{Ker} v$ sont stables par $h$.

Déterminer $u^k\circ h - h\circ u^k$ pour $k\in\N$. Déterminer $P(u)\circ h - h \circ P(u)$ pour $P\in\R[X]$.

Quel est le polynôme minimal de $u$ ?