Soit \[A=\begin{pmatrix}a&c \\ c&d\end{pmatrix}\in M_2(\R)\]

Démontrons que \(A\) est diagonalisable dans \(\R\).

Le polynôme caractéristique \(P_A(X)\) est égal à \[P_A(X)=\begin{vmatrix}a-X&c \\ c& d-x\end{vmatrix}=(a-X)(d-X)-c^2=X^2-(a+d)X+ad-c^2,\] déterminons ses racines : calculons le discriminant : \[\begin{align*}\Delta&=(a+d)^2-4(ad-c^2) \\ &=a^2+d^2+2ad-4ad+4c^2 \\ &=a^2+d^2-2ad+4c^2 \\ &=(a-d)^2+4c^2\geq 0\end{align*}\] On a \(\Delta=0\iff a-d=0\ {\hbox{et}}\ c=0\), mais, si \(c=0\), la matrice \(A\) est déjà diagonale. Sinon \(\Delta>0\) et le polynôme caractéristique admet deux racines réelles distinctes, ce qui prouve que la matrice est toujours diagonalisable dans \(\R\).

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