Soit \(f~:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2\) l’application linéaire définie par \[f\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) =\frac{1}{5} \left(\begin{array}{c}3x + 4y\\ 4x - 3y\end{array}\right).\]
Écrire la matrice de \(f\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}^2\). On la notera \(A\).
Montrer que le vecteur \(\vec{v}_1 = \left(\begin{array}{c}2 \\1\end{array}\right)\) est vecteur propre de \(f\). Quelle est la valeur propre associée ?
Montrer que le vecteur \(\vec{v}_2 = \left(\begin{array}{c}-1 \\2\end{array}\right)\) est également vecteur propre de \(f\). Quelle est la valeur propre associée ?
Calculer graphiquement l’image du vecteur \(\vec{v}_3 = \left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right).\) Retrouver ce résultat par le calcul.
Montrer que la famille \(\{\vec{v}_1, \vec{v}_2\}\) forme une base de \(\mathbb{R}^2\).
Quelle est la matrice de \(f\) dans la base \(\{\vec{v}_1, \vec{v}_2\}\) ? On la notera \(D\).
Soit \(P\) la matrice dont la première colonne est le vecteur \(\vec{v}_1\) et dont la deuxième colonne est le vecteur \(\vec{v}_2\). Calculer \(P^{-1}\).
Quelle relation y-a-t-il entre \(A\), \(P\), \(P^{-1}\) et \(D\) ?
Calculer \(A^n\), pour \(n\in\mathbb{N}\).