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Soit $f~:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2$ l’application linéaire définie par $$f\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) =\frac{1}{5} \left(\begin{array}{c}3x + 4y\\ 4x - 3y\end{array}\right).$$

Écrire la matrice de $f$ dans la base canonique de $\mathbb{R}^2$. On la notera $A$.

Montrer que le vecteur $\vec{v}_1 = \left(\begin{array}{c}2 \\1\end{array}\right)$ est vecteur propre de $f$. Quelle est la valeur propre associée ?

Montrer que le vecteur $\vec{v}_2 = \left(\begin{array}{c}-1 \\2\end{array}\right)$ est également vecteur propre de $f$. Quelle est la valeur propre associée ?

Calculer graphiquement l’image du vecteur $\vec{v}_3 = \left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right).$ Retrouver ce résultat par le calcul.

Montrer que la famille $\{\vec{v}_1, \vec{v}_2\}$ forme une base de $\mathbb{R}^2$.

Quelle est la matrice de $f$ dans la base $\{\vec{v}_1, \vec{v}_2\}$ ? On la notera $D$.

Soit $P$ la matrice dont la première colonne est le vecteur $\vec{v}_1$ et dont la deuxième colonne est le vecteur $\vec{v}_2$. Calculer $P^{-1}$.

Quelle relation y-a-t-il entre $A$, $P$, $P^{-1}$ et $D$ ?

Calculer $A^n$, pour $n\in\mathbb{N}$.