({\it 7 points}) On consid\`ere la suite $(u_n)_{n\in\N}$ d\'efinie par $u_0=0$, $u_1=1$ et par la relation de r\'ecurrence $$u_{n+1}={\frac{1}{2}}(u_n+u_{n-1}). $$ \begin {enumerate}
Déterminer une matrice \(A\in M_2(\R)\) telle que pour tout \(n\geq1\) on ait \[\begin{pmatrix}u_{n+1} \\ u_n\end{pmatrix}=A^n\begin{pmatrix}u_1 \\ u_0\end{pmatrix}.\] Justifier.
Déterminer le polynôme caractéristique \(P_A(X)\) de \(A\) et calculer ses racines \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\).
Soit \(R_n(X)=a_nX+b_n\) le reste de la division euclidienne de \(X^n\) par \(P_A(X)\). Calculer \(a_n\) et \(b_n\) (on pourra utiliser les racines \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\)).
Montrer que $A^n=a_nA+b_nI_2$, en d\'eduire que la matrice $A^n$ converge lorsque $n$ tend vers $+\infty$ vers une limite $A_{\infty}$ que l'on d\'eterminera. Calculer $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n$. \end {enumerate}