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Déterminer une matrice $A\in M_2(\R)$ telle que pour tout $n\geq1$ on ait $$\begin{pmatrix}u_{n+1} \\ u_n\end{pmatrix}=A^n\begin{pmatrix}u_1 \\ u_0\end{pmatrix}.$$ Justifier.

Déterminer le polynôme caractéristique $P_A(X)$ de $A$ et calculer ses racines $\lambda_1$ et $\lambda_2$.

Soit $R_n(X)=a_nX+b_n$ le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $P_A(X)$. Calculer $a_n$ et $b_n$ (on pourra utiliser les racines $\lambda_1$ et $\lambda_2$).

Montrer que $A^n=a_nA+b_nI_2$, en déduire que la matrice $A^n$ converge lorsque $n$ tend vers $+\infty$ vers une limite $A_{\infty}$ que l’on déterminera. Calculer $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n$.