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Vérifier que $\chi_A(\lambda) = -\lambda^3 + (\mathrm{tr} A)\lambda^2 - \left( \begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} \cr a_{21} &a_{22} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} &a_{13} \cr a_{31} &a_{33} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{22} &a_{23} \cr a_{32} &a_{33} \end{vmatrix} \right)\lambda +\det(A)$.

Soit $\lambda$ une valeur propre de $A$ et $L_1,L_2$ deux lignes non proportionnelles de $A-\lambda I$ (s’il en existe). On calcule $L = L_1\wedge L_2$ (produit vectoriel) et $X = {}^tL$. Montrer que $X$ est vecteur propre de $A$ pour la valeur propre $\lambda$.