Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_{3}(\R)\).
1
Vérifier que \(\chi_A(\lambda) = -\lambda^3 + (\mathrm{tr} A)\lambda^2 - \left( \begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} \cr a_{21} &a_{22} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} &a_{13} \cr a_{31} &a_{33} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{22} &a_{23} \cr a_{32} &a_{33} \end{vmatrix} \right)\lambda +\det(A)\).
2
Soit \(\lambda\) une valeur propre de \(A\) et \(L_1,L_2\) deux lignes non proportionnelles de \(A-\lambda I\) (s’il en existe). On calcule \(L = L_1\wedge L_2\) (produit vectoriel) et \(X = {}^tL\). Montrer que \(X\) est vecteur propre de \(A\) pour la valeur propre \(\lambda\).