Trouvons un polynôme scindé à racines simples annulant $f$ .

Le polynôme $P =X(X-\lambda)(X-\mu) = X^3 - (\lambda+\mu)X^2 +\lambda\mu X$ est annulateur de $f$ . En effet,

$\begin{align*}\ensuremath P(f)&=f^3 -(\lambda+\mu)f^2 +\lambda\mu f = (\lambda^3 - (\lambda+\mu)\lambda^2 +(\lambda\mu)\lambda)u + (\mu^3 - (\lambda+\mu)\mu^2 +(\lambda\mu)\mu)v\\ &= P(\lambda)u + P(\mu)v=0 . \end{align*}$

Si $\lambda$ et $\mu$ sont distincts et non nuls, $P$ est un polynôme scindé à racines simples annulateur de $f$ et donc $f$ est diagonalisable.

Si $\lambda=\mu=0$ , alors $f=0$ et donc $f$ est diagonalisable.

Si par exemple $\lambda\neq0$ et $\mu=0$ , $f^2 =\lambda^2u =\lambda f$ et et le polynôme $P=X(X-\lambda)$ est scindé à racines simples et annulateur de $f$ . Dans ce cas aussi $f$ est diagonalisable.

Enfin si $\lambda=\mu\neq0$ , $f^2 =\lambda^2(u+v) =\lambda f$ et de nouveau $P=X(X-\lambda)$ est scindé à racines simples et annulateur de $f$ .

Dans tous les cas, $f$ est diagonalisable.

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