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Soit \((E,N)\) une espace vectoriel. Montrer les équivalences : \[\begin{array}{ccl} A\subset E \text{ est borné} &\Leftrightarrow&\exists(a,r)\in E\times\R^+ \, : \, A\subset B(a,r)\\ &\Leftrightarrow&\exists R\geq 0\, : \, A\subset B(0,R)\\ &\Leftrightarrow&\exists R\geq 0\, : \, A\subset B_f(0,R)\\ &\Leftrightarrow&A\text{ est inclus dans une boule de }E. \end{array}\]