Tout d’abord si deux ensembles finis $A$ et $B$ sont disjoints alors $\text{Card\,} A\cup B = \text{Card\,} A + \text{Card\,} B$ .

Si maintenant $A$ et $B$ sont deux ensembles finis quelconques : nous décomposons $A\cup B$ en trois ensembles : $A \cup B = (A \setminus (A\cap B)) \cup (B \setminus (A\cap B)) \cup (A\cap B).$ Ces trois ensembles sont disjoints deux à deux donc : $\text{Card\,} A\cup B = \text{Card\,} A\setminus (A\cap B) + \text{Card\,} B \setminus (A\cap B) + \text{Card\,} A\cap B$ .

Mais pour $R \subset S$ nous avons $\text{Card\,} S\setminus R = \text{Card\,} S - \text{Card\,} R$ .

Donc $\text{Card\,} A\cup B = \text{Card\,} A - \text{Card\,} A\cap B + \text{Card\,}B - \text{Card\,} A\cap B + \text{Card\,} A\cap B$ .

Donc $\text{Card\,} A\cup B = \text{Card\,} A + \text{Card\,} B - \text{Card\,} A\cap B$ .

Appliquons ceci à $A \Delta B = (A \cup B) \setminus (A \cap B)$ : $\text{Card\,} A \Delta B = \text{Card\,} A\cup B - \text{Card\,} A\cap B = \text{Card\,} A + \text{Card\,} B - 2\text{Card\,} A\cap B.$

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