Tout d’abord si deux ensembles finis \(A\) et \(B\) sont disjoints alors \(\text{Card\,} A\cup B = \text{Card\,} A + \text{Card\,} B\).

Si maintenant \(A\) et \(B\) sont deux ensembles finis quelconques : nous décomposons \(A\cup B\) en trois ensembles : \[A \cup B = (A \setminus (A\cap B)) \cup (B \setminus (A\cap B)) \cup (A\cap B).\] Ces trois ensembles sont disjoints deux à deux donc : \(\text{Card\,} A\cup B = \text{Card\,} A\setminus (A\cap B) + \text{Card\,} B \setminus (A\cap B) + \text{Card\,} A\cap B\).

Mais pour \(R \subset S\) nous avons \(\text{Card\,} S\setminus R = \text{Card\,} S - \text{Card\,} R\).

Donc \(\text{Card\,} A\cup B = \text{Card\,} A - \text{Card\,} A\cap B + \text{Card\,}B - \text{Card\,} A\cap B + \text{Card\,} A\cap B\).

Donc \(\text{Card\,} A\cup B = \text{Card\,} A + \text{Card\,} B - \text{Card\,} A\cap B\).

Appliquons ceci à \(A \Delta B = (A \cup B) \setminus (A \cap B)\) : \[\text{Card\,} A \Delta B = \text{Card\,} A\cup B - \text{Card\,} A\cap B = \text{Card\,} A + \text{Card\,} B - 2\text{Card\,} A\cap B.\]

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