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Un gardien de nuit doit ouvrir une des portes à contrôler durant sa tournée dans le noir. Il possède 10 clés d'allure semblable, mais une seule peut ouvrir la porte en question. Le gardien dispose de deux méthodes.

\question{Méthode A : Il pose les 10 clés devant lui et les essaye l'une après l'autre dans l'ordre dans lequel elles se présentent ;
Méthode B : Il essaye une clé après avoir agité le trousseau, en recommençant cette opération jusqu'à ce qu'il trouve la bonne clé.

}

Méthode A : Il pose les 10 clés devant lui et les essaye l'une après l'autre dans l'ordre dans lequel elles se présentent ;

Méthode B : Il essaye une clé après avoir agité le trousseau, en recommençant cette opération jusqu'à ce qu'il trouve la bonne clé.

On appelle $X_A$ (respectivement $X_B$ ) la variable aléatoire, définie sur l’espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{T}, \prob)$ , qui désigne le nombre de clés essayées (y compris celle qui donne satisfaction) par la méthode A (respectivement B).

Rappel : soit $a \in ]0 ; 1[$ , alors $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} a^k = \frac{1 - a^{n+1}}{1 - a}$ et $\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} a^k = \frac{1}{1 - a}$ .

Montrer que pour tout $k \in \{1, \dots, 10\}$ , $\prob(X_A = k) = p$ où $p$ est une valeur constante à déterminer.

Quelle est la loi suivie par $X_B$ ?

Quelle est la probabilité d’essayer strictement plus de 8 clés : par la méthode A ? Par la méthode B ? On notera $H$ l’événement : « essayer plus de 8 clés ».

On admet que le gardien utilise la méthode A deux fois sur trois. Quelle est la probabilité conditionnelle que le gardien utilise la méthode B sachant que les 8 premiers essais ont échoué ? On donnera le résultat arrondi à $10^{-2}$ .

Problème de clés

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