L1 Algèbre Dénombrement 5 questions

Problème de clés

Un gardien de nuit doit ouvrir une des portes à contrôler durant sa tournée dans le noir. Il possède 10 clés d'allure semblable, mais une seule peut ouvrir la porte en question. Le gardien dispose de deux méthodes.
  • \question{Méthode A : Il pose les 10 clés devant lui et les essaye l'une après l'autre dans l'ordre dans lequel elles se présentent ;
  • Méthode B : Il essaye une clé après avoir agité le trousseau, en recommençant cette opération jusqu'à ce qu'il trouve la bonne clé.
}
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Méthode A : Il pose les 10 clés devant lui et les essaye l'une après l'autre dans l'ordre dans lequel elles se présentent ;

  • Méthode B : Il essaye une clé après avoir agité le trousseau, en recommençant cette opération jusqu'à ce qu'il trouve la bonne clé.

    • On appelle \(X_A\) (respectivement \(X_B\)) la variable aléatoire, définie sur l’espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{T}, \prob)\), qui désigne le nombre de clés essayées (y compris celle qui donne satisfaction) par la méthode A (respectivement B).

    Rappel : soit \(a \in ]0 ; 1[\), alors \(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} a^k = \frac{1 - a^{n+1}}{1 - a}\) et \(\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} a^k = \frac{1}{1 - a}\).

    2

    Montrer que pour tout \(k \in \{1, \dots, 10\}\), \(\prob(X_A = k) = p\) où \(p\) est une valeur constante à déterminer.

    3

    Quelle est la loi suivie par \(X_B\) ?

    4

    Quelle est la probabilité d’essayer strictement plus de 8 clés : par la méthode A ? Par la méthode B ? On notera \(H\) l’événement : « essayer plus de 8 clés ».

    5

    On admet que le gardien utilise la méthode A deux fois sur trois. Quelle est la probabilité conditionnelle que le gardien utilise la méthode B sachant que les 8 premiers essais ont échoué ? On donnera le résultat arrondi à \(10^{-2}\).