On cherche, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), le reste de la division euclidienne du polynôme \(P(X)=X^n\) par \(X^3+X^2+X+1\).
1
Déterminer une racine évidente de \(X^3+X^2+X+1\), et factoriser le polynôme. Quelles sont ses racines dans \(\mathbb{C}\) ?
2
Justifier l’existence d’un polynôme \(Q_n(X)\) et de trois réels \(a_n, b_n\) et \(c_n\) tels que : \[X^n=\left(X^3+X^2+X+1\right) Q_n(X)+a_n X^2+b_n X+c_n\] On ne demande pas de déterminer \(Q_n(X)\).
3
Exprimer \(P(-1), P(i)\) et \(P(-i)\) en fonction de \(a_n, b_n\) et \(c_n\), et en déduire l’expression du reste de la division euclidienne de \(P(X)\) par \(X^3+X^2+X+1\). On distinguera deux cas : \(n=2 p\) (cas \(n\) pair) et \(n=2 p+1\) (cas \(n\) impair).