Reste de division euclidienne

Déterminer une racine évidente de $X^3+X^2+X+1$, et factoriser le polynôme. Quelles sont ses racines dans $\mathbb{C}$ ?

Justifier l’existence d’un polynôme $Q_n(X)$ et de trois réels $a_n, b_n$ et $c_n$ tels que : $$X^n=\left(X^3+X^2+X+1\right) Q_n(X)+a_n X^2+b_n X+c_n$$ On ne demande pas de déterminer $Q_n(X)$.

Exprimer $P(-1), P(i)$ et $P(-i)$ en fonction de $a_n, b_n$ et $c_n$, et en déduire l’expression du reste de la division euclidienne de $P(X)$ par $X^3+X^2+X+1$. On distinguera deux cas : $n=2 p$ (cas $n$ pair) et $n=2 p+1$ (cas $n$ impair).