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Montrer que pour tout entier $n \in \N$ il existe un unique polynôme $P_n \in {\Z[X]}$ vérifiant : $$\forall\ z \in \C^*,\ z^n + z^{-n} = P_n(z + z^{-1}).$$

Déterminer le degré, le coefficient dominant, et les racines de $P_n$.

Pour $P \in {\C[X]}$, on note $\tilde P$ le polynôme tel que : $$\forall\ z \in \C^*,\ P(z) + P(z^{-1}) = \tilde P(z + z^{-1}).$$

Étudier l’application $P \mapsto \tilde P$.