1
Montrer que pour tout entier \(n \in \N\) il existe un unique polynôme \(P_n \in {\Z[X]}\) vérifiant : \[\forall\ z \in \C^*,\ z^n + z^{-n} = P_n(z + z^{-1}).\]
2
Déterminer le degré, le coefficient dominant, et les racines de \(P_n\).
3
Pour \(P \in {\C[X]}\), on note \(\tilde P\) le polynôme tel que : \[\forall\ z \in \C^*,\ P(z) + P(z^{-1}) = \tilde P(z + z^{-1}).\]
Étudier l’application \(P \mapsto \tilde P\).