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Soit $p \in \mathbb{Z}$ un nombre premier. Montrer que si $a\in \mathbb{Z}$ n’est pas congru à $0$ modulo $p$ alors $p$ ne divise pas $a$ et donc $\mbox{pgcd}(a,p)=1$.

Soit $a\in \mathbb{Z}$ non congru à $0$ modulo $p$ avec $p$ premier. Montrer en utilisant le a) qu’il existe $u \in \mathbb{Z}$ non congru à $0$ modulo $p$ vérifiant $au \equiv 1[p]$. (Remarquer que cela donne un inverse de $a$ modulo $p$).

Montrer que si $p$ n’est pas premier, il existe des éléments $a,u\in \mathbb{Z}$ non nuls modulo $p$ tels que $au\equiv 0[p]$.