Soit \(E = \mathcal{C}([a,b])\), et \(F=\{f\in \mathcal{C}^2([a,b]),\text{ tel que } f(a)=f'(a)=f(b)=f'(b)=0\}\).
1
Soit \(f\in E\). Montrer qu’il existe \(g\in F\) vérifiant \(g''=f\) si et seulement si \(\int_{x=a}^b f(x)\,d x = \int_{x=a}^b xf(x)\,d x = 0\).
2
Soit \(f\in E\) telle que \(\int_{x=a}^b f(x)g''(x)\,d x = 0\) pour toute fonction \(g\in F\). Montrer que \(f\) est affine.